5.3.12

(1) 设 $x_{(1)}$ 和 $x_{(n)}$ 分别为容量 $n$ 的样本的最小和最大次序统计量，证明极差 $R_n = x_{(n)} - x_{(1)}$ 的分布函数

$$F_{R_n}(x) = n \int_{-\infty}^{\infty} [F(y+x) - F(y)]^{n-1} p(y) \, dy,$$

其中 $F(y)$ 与 $p(y)$ 分别为总体的分布函数与密度函数；

(2) 利用 (1) 的结论，求总体为指数分布 $\mathrm{Exp}(\lambda)$ 时，样本极差 $R_n$ 的分布。