例 6.2.6medium一级题目发布者: ai-batch题干设一个试验有三种可能结果，其发生概率分别为 p1=θ2,p2=2θ(1−θ),p3=(1−θ)2.p_1 = \theta^2, \quad p_2 = 2\theta(1-\theta), \quad p_3 = (1-\theta)^2.p1=θ2,p2=2θ(1−θ),p3=(1−θ)2. 现做了 nnn 次试验，观测到三种结果发生的次数分别为 n1,n2,n3n_1, n_2, n_3n1,n2,n3，试用频率替换方法给出 θ\thetaθ 的估计，并说明其相合性。答案点击展开后可查看解析解析由于可以有三个不同的 θ\thetaθ 的表达式 θ=p1,θ=1−p3,θ=p1+p2/2.\theta = \sqrt{p_1}, \quad \theta = 1 - \sqrt{p_3}, \quad \theta = p_1 + p_2/2.θ=p1,θ=1−p3,θ=p1+p2/2. 从而可以给出 θ\thetaθ 的三种不同的频率替换估计，它们分别是 θ^1=n1/n,θ^2=1−n3/n,θ^3=(n1+n2/2)/n.\hat{\theta}_1 = \sqrt{n_1/n}, \quad \hat{\theta}_2 = 1 - \sqrt{n_3/n}, \quad \hat{\theta}_3 = (n_1 + n_2/2)/n.θ^1=n1/n,θ^2=1−n3/n,θ^3=(n1+n2/2)/n. 由大数定律，n1/nn_1/nn1/n、n2/nn_2/nn2/n、n3/nn_3/nn3/n 分别是 p1p_1p1、p2p_2p2、p3p_3p3 的相合估计，由定理 6.2.2 知，上述三个估计都是 θ\thetaθ 的相合估计。