例 3.3.5medium一级题目发布者: ai-batch题干设 X1,X2,⋯ ,XnX_1, X_2, \cdots, X_nX1,X2,⋯,Xn 是相互独立的 nnn 个随机变量，若 Z=min{X1,X2,⋯ ,Xn}Z = \min\{X_1, X_2, \cdots, X_n\}Z=min{X1,X2,⋯,Xn}。试在以下情况下求 ZZZ 的分布： （1）Xi∼Fi(x)X_i \sim F_i(x)Xi∼Fi(x)，i=1,2,⋯ ,ni = 1, 2, \cdots, ni=1,2,⋯,n； （2）诸 XiX_iXi 同分布，即 Xi∼F(x)X_i \sim F(x)Xi∼F(x)，i=1,2,⋯ ,ni = 1, 2, \cdots, ni=1,2,⋯,n； （3）诸 XiX_iXi 为连续随机变量，且诸 XiX_iXi 同分布，即 XiX_iXi 的密度函数均为 p(x)p(x)p(x)，i=1,2,⋯ ,ni = 1, 2, \cdots, ni=1,2,⋯,n； （4）Xi∼Exp(λ)X_i \sim Exp(\lambda)Xi∼Exp(λ)，i=1,2,⋯ ,ni = 1, 2, \cdots, ni=1,2,⋯,n。答案点击展开后可查看解析解析（1） Z=min{X1,X2,⋯ ,Xn}Z = \min\{X_1, X_2, \cdots, X_n\}Z=min{X1,X2,⋯,Xn} 的分布函数为 FZ(z)=P(min{X1,X2,⋯ ,Xn}⩽z)F_Z(z) = P(\min\{X_1, X_2, \cdots, X_n\} \leqslant z)FZ(z)=P(min{X1,X2,⋯,Xn}⩽z) =1−P(min{X1,X2,⋯ ,Xn}>z)= 1 - P(\min\{X_1, X_2, \cdots, X_n\} > z)=1−P(min{X1,X2,⋯,Xn}>z) =1−P(X1>z,X2>z,⋯ ,Xn>z)= 1 - P(X_1 > z, X_2 > z, \cdots, X_n > z)=1−P(X1>z,X2>z,⋯,Xn>z) =1−P(X1>z)P(X2>z)⋯P(Xn>z)= 1 - P(X_1 > z)P(X_2 > z)\cdots P(X_n > z)=1−P(X1>z)P(X2>z)⋯P(Xn>z) =1−∏i=1n[1−Fi(z)].= 1 - \prod_{i=1}^n [1 - F_i(z)].=1−i=1∏n[1−Fi(z)]. （2） 将 XiX_iXi 的共同分布函数 F(x)F(x)F(x) 代入上式得 FZ(z)=1−[1−F(z)]n.F_Z(z) = 1 - [1 - F(z)]^n.FZ(z)=1−[1−F(z)]n. （3） ZZZ 的分布函数仍为上式，密度函数可对上式关于 zzz 求导得 pZ(z)=FZ′(z)=n[1−F(z)]n−1p(z).p_Z(z) = F_Z'(z) = n[1 - F(z)]^{n-1} p(z).pZ(z)=FZ′(z)=n[1−F(z)]n−1p(z). （4） 将 Exp(λ)Exp(\lambda)Exp(λ) 的分布函数和密度函数代入 (3) 式得 FZ(z)={0,z<0,1−e−nλz,z⩾0.F_Z(z) = \begin{cases} 0, & z < 0, \\ 1 - \mathrm{e}^{-n\lambda z}, & z \geqslant 0. \end{cases}FZ(z)={0,1−e−nλz,z<0,z⩾0. pZ(z)={0,z<0,nλe−nλz,z⩾0.p_Z(z) = \begin{cases} 0, & z < 0, \\ n\lambda \mathrm{e}^{-n\lambda z}, & z \geqslant 0. \end{cases}pZ(z)={0,nλe−nλz,z<0,z⩾0.