1.2.1hard一级题目发布者: ai-batch题干对于组合数 (nr)\binom{n}{r}(rn)，证明： (1) (nr)=(nn−r)\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}(rn)=(n−rn)； (2) (nr)=(n−1r−1)+(n−1r)\binom{n}{r} = \binom{n-1}{r-1} + \binom{n-1}{r}(rn)=(r−1n−1)+(rn−1)； (3) (n0)+(n1)+⋯+(nn)=2n\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \cdots + \binom{n}{n} = 2^n(0n)+(1n)+⋯+(nn)=2n； (4) (n1)+2(n2)+⋯+n(nn)=n⋅2n−1\binom{n}{1} + 2\binom{n}{2} + \cdots + n\binom{n}{n} = n \cdot 2^{n-1}(1n)+2(2n)+⋯+n(nn)=n⋅2n−1； (5) (a0)(bn)+(a1)(bn−1)+⋯+(an)(b0)=(a+bn)\binom{a}{0}\binom{b}{n} + \binom{a}{1}\binom{b}{n-1} + \cdots + \binom{a}{n}\binom{b}{0} = \binom{a+b}{n}(0a)(nb)+(1a)(n−1b)+⋯+(na)(0b)=(na+b)，n=min{a,b}n = \min\{a,b\}n=min{a,b}； (6) (n0)2+(n1)2+⋯+(nn)2=(2nn)\binom{n}{0}^2 + \binom{n}{1}^2 + \cdots + \binom{n}{n}^2 = \binom{2n}{n}(0n)2+(1n)2+⋯+(nn)2=(n2n)。