例 2.2.2

令 $X$ 为该人群中每个人需要的验血次数，则 $X$ 的分布列为

$X$	$1/k$	$1+1/k$
$P$	$(1-p)^k$	$1-(1-p)^k$

所以每人平均验血次数为

$$E(X) = \frac{1}{k}(1-p)^k + \left(1+\frac{1}{k}\right)\left[1-(1-p)^k\right] = 1-(1-p)^k+\frac{1}{k}.$$

由此可知，只要选择 $k$ 使

$$1-(1-p)^k+\frac{1}{k}<1 \quad \text{或} \quad (1-p)^k>\frac{1}{k},$$

就可减少验血次数，而且还可适当选择 $k$ 使 $E(X)$ 达到最小。譬如，当 $p=0.1$ 时，对不同的 $k$，$E(X)$ 的值如表 2.2.1 所示。从表中可以看出：当 $k \geqslant 34$ 时，平均验血次数超过 1，即比分别检验的工作量还大；而当 $k \leqslant 33$ 时，平均验血次数在不同程度上得到了减少，特别在 $k=4$ 时，平均验血次数最少，验血工作量可减少 40%。

表 2.2.1 $p=0.1$ 时的 $E(X)$ 值

$k$	2	3	4	5	8	10	30	33	34
$E(X)$	0.690	0.604	0.594	0.610	0.695	0.751	0.991	0.9994	1.0016

我们也可以对不同的发病率 $p$ 计算出最佳的分组人数 $k_0$，见下表 2.2.2。从表中也可以看出：发病率 $p$ 越小，则分组检验的效益越大。譬如在 $p=0.01$ 时，若取 11 人为一组进行验血，则验血工作量可减少 80% 左右。这正是美国二战期间大量征兵时，对新兵验血所采用的减少工作量的措施。

表 2.2.2 不同发病率 $p$ 时的最佳分组人数 $k_0$ 及其 $E(X)$

$p$	0.14	0.10	0.08	0.06	0.04	0.02	0.01
$k_0$	3	4	4	5	6	8	11
$E(X)$	0.697	0.594	0.534	0.466	0.384	0.274	0.196