例 7.2.2

这是一个关于正态均值的双侧假设检验问题。原假设是 $H_0: \mu = 240$，备择假设是 $H_1: \mu \neq 240$。由于 $\sigma$ 未知，故采用 $t$ 检验，其拒绝域为 $\{|t| \geqslant t_{1-\alpha/2}(n-1)\}$，若取 $\alpha = 0.05$，则查表得 $t_{0.975}(4) = 2.7764$。现由样本计算得到 $\bar{x} = 239.5$，$s = 0.4$，故

$$t_0 = \frac{\sqrt{5}\,(239.5 - 240)}{0.4} = -2.795,$$

由于 $|t_0| = 2.795 > 2.7764$，故拒绝原假设，认为该厂生产的铝材的长度不满足设定要求。

下面用 $p$ 值再作一次检验。此处 $t_0 = -2.795$，记 $t$ 是服从自由度为 4 的 $t$ 分布的随机变量，则根据 (7.2.18) 式，

$$p = P(|t| \geqslant 2.795) = 2P(t \geqslant 2.795),$$

利用统计软件可计算出具体 $p$ 值为 0.0491，由于 $p$ 值小于事先给定的显著性水平 0.05，故拒绝原假设，结论是相同的。