例 3.3.12

记 $V=Y$，因 $V>0$，故

$$\begin{cases} u=x/y,\\ v=y \end{cases}$$

有唯一的反函数，为

$$\begin{cases} x=uv,\\ y=v, \end{cases}$$

其雅可比行列式为

$$J= \begin{vmatrix} v & u\\ 0 & 1 \end{vmatrix} =v,$$

所以 $(U,V)$ 的联合密度函数为

$$p(u,v)=p_X(uv)p_Y(v)|J|=p_X(uv)p_Y(v)v.$$

对 $p(u,v)$ 关于 $v$ 积分，就可得 $U=X/Y$ 的密度函数为 (3.3.22) 式。

在以上两个例子中，如果 $X$ 与 $Y$ 不是相互独立的，则只需在 (3.3.21) 式和 (3.3.22) 式中将边际密度的乘积改写成联合密度即可。