例 2.3.1

medium一级题目发布者: ai-batch

题干

例 2.3.1 设有三个分布都位于区间 $(-1,1)$ 上，且均关于纵轴对称（期望均为 0），其密度函数分别为：

1. 三角分布

p_1(x) = \begin{cases} 1+x, & -1 < x < 0, \\ 1-x, & 0 \leqslant x < 1, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}

2. 均匀分布

p_2(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{2}, & -1 < x < 1, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}

3. 倒三角分布

p_3(x) = \begin{cases} -x, & -1 < x < 0, \\ x, & 0 \leqslant x < 1, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}

分别求三个分布的方差，并比较大小。

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由于三个分布的期望均为 0，故 $\text{Var}(X) = E(X^2)$ ，分别计算如下：

\text{Var}(X_1) = E(X_1^2) = \int_{-1}^{0} x^2(1+x)\,\mathrm{d}x + \int_{0}^{1} x^2(1-x)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{6}.

\text{Var}(X_2) = E(X_2^2) = \int_{-1}^{1} \frac{x^2}{2}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}.

\text{Var}(X_3) = E(X_3^2) = \int_{-1}^{0} x^2(-x)\,\mathrm{d}x + \int_{0}^{1} x^2 \cdot x\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}.

这些计算结果与我们对分布的直观认识是一致的。在这三个分布中，三角分布的概率在中间较为集中，故方差最小；而倒三角分布的概率大多分散在两侧，故方差最大；均匀分布介于其中，故方差也介于其中。

三个分布的期望、方差和标准差汇总如下：