例 6.6.4medium一级题目发布者: ai-batch题干设总体为正态分布 N(μ,1)N(\mu, 1)N(μ,1)，为得到 μ\muμ 的置信水平为 0.95 的置信区间且长度不超过 1.2，样本容量应为多大？答案点击展开后可查看解析解析由题设条件知 μ\muμ 的 0.95 置信区间为 [xˉ−u1−α/2/n, xˉ+u1−α/2/n],\left[\bar{x} - u_{1-\alpha/2}/\sqrt{n},\; \bar{x} + u_{1-\alpha/2}/\sqrt{n}\right],[xˉ−u1−α/2/n,xˉ+u1−α/2/n], 其区间长度为 2u1−α/2/n2u_{1-\alpha/2}/\sqrt{n}2u1−α/2/n，它仅依赖于样本容量 nnn 而与样本具体取值无关。现要求 2u1−α/2/n⩽1.2,2u_{1-\alpha/2}/\sqrt{n} \leqslant 1.2,2u1−α/2/n⩽1.2, 立即有 n⩾(2/1.2)2u1−α/22n \geqslant (2/1.2)^2 u_{1-\alpha/2}^2n⩾(2/1.2)2u1−α/22。现 1−α=0.951-\alpha = 0.951−α=0.95，故 u1−α/2=1.96u_{1-\alpha/2} = 1.96u1−α/2=1.96，从而 n⩾(5/3)2×1.962=10.67≈11.n \geqslant (5/3)^2 \times 1.96^2 = 10.67 \approx 11.n⩾(5/3)2×1.962=10.67≈11. 即样本容量至少为 11 时才能使得 μ\muμ 的置信水平为 0.95 的置信区间长度不超过 1.2。