例 3.1.5

记 $i$ 与 $j$ 分别为 $X$ 与 $Y$ 的取值，此时对 $i + j > 3$，有 $p_{ij} = 0$，即

$$p_{13} = p_{22} = p_{23} = p_{31} = p_{32} = p_{33} = 0.$$

对 $i + j \leqslant 3$，有

$$p_{ij} = \frac{\dbinom{60}{i}\dbinom{30}{j}\dbinom{10}{3-i-j}}{\dbinom{100}{3}}.$$

由此可得 $(X, Y)$ 的联合分布列，譬如

$$P(X = 1, Y = 2) = \frac{\dbinom{60}{1}\dbinom{30}{2}}{\dbinom{100}{3}} = \frac{60 \times 30 \times 29 / 2}{100 \times 99 \times 98 / 6} = \frac{87}{539} = 0.1614.$$

其他各概率都类似求出，最后得如下联合分布列：

	$Y=0$	$Y=1$	$Y=2$	$Y=3$
$X=0$	0.0007	0.0083	0.0269	0.0251
$X=1$	0.0167	0.1113	0.1614	0
$X=2$	0.1095	0.3284	0	0
$X=3$	0.2116	0	0	0

有此联合分布列，就可计算有关事件的概率，譬如，

$$P(X \leqslant 1, Y \leqslant 1) = 0.0007 + 0.0167 + 0.0083 + 0.1113 = 0.1370.$$ $$P(X = 0) = \sum_{j=0}^{3} P(X = 0, Y = j) = 0.0610.$$

此例是超几何分布的推广，差别在于：§2.4.3 中讨论的是从"合格品""不合格品"两种情况中不放回地抽取，而在此是从一等品、二等品和三等品三种情况中不放回地抽取。这里我们称它为三维超几何分布，它是一种特定的多维超几何分布。