5.3.10

设总体 $X$ 服从双参数指数分布，其分布函数为

$$F(x) = \begin{cases} 1 - \exp\left\{ -\dfrac{x-\mu}{\sigma} \right\}, & x > \mu, \\ 0, & x \le \mu, \end{cases}$$

其中 $-\infty < \mu < \infty$，$\sigma > 0$，$x_{(1)} \le x_{(2)} \le \cdots \le x_{(n)}$ 为样本的次序统计量。试证明：$(n-i+1)\dfrac{2}{\sigma}(X_{(i)} - X_{(i-1)})$ 服从自由度为 $2$ 的 $\chi^2$ 分布 $(i=2,3,\cdots,n)$。