例 1.2.7

把 $n$ 个人看成是 $n$ 个球，将一年 365 天看成是 $N = 365$ 个盒子，则"$n$ 个人的生日全不相同"就相当于"恰好有 $n$（$n \le N$）个盒子各有一球"，所以 $n$ 个人的生日全不相同的概率为

$$p_n = \frac{365!}{365^n (365-n)!} = \left(1 - \frac{1}{365}\right)\left(1 - \frac{2}{365}\right)\cdots\left(1 - \frac{n-1}{365}\right). \tag{1.2.10}$$

上式看似简单，但其具体计算是烦琐的，对此可用以下方法作近似计算：

（1）当 $n$ 较小时，(1.2.10) 式右边中各因子的第二项之间的乘积 $\frac{i}{365} \times \frac{j}{365}$ 都可以忽略，于是有近似公式

$$p_n \approx 1 - \frac{1+2+\cdots+(n-1)}{365} = 1 - \frac{n(n-1)}{730}. \tag{1.2.11}$$

（2）当 $n$ 较大时，因为对较小的正数 $x$，有 $\ln(1-x) \approx -x$，所以由 (1.2.10) 式得

$$\ln p_n \approx -\frac{1+2+\cdots+(n-1)}{365} = -\frac{n(n-1)}{730}. \tag{1.2.12}$$

例如当 $n = 10$ 时，由 (1.2.12) 式给出 $p_n$ 的近似值为 0.884 0，而精确值为 $p_n$ = 0.883 1…；当 $n = 30$ 时，$p_n$ 的近似值为 0.303 7，精确值为 $p_n$ = 0.293 7。