例 5.3.2

我们首先应求出 $x_{(2)}$ 的分布。由总体密度函数不难求出总体分布函数为

$$F(x) = \begin{cases} 0, & x \leqslant 0, \\ x^3, & 0 < x < 1, \\ 1, & x \geqslant 1. \end{cases}$$

由公式 (5.3.1) 可以得到 $x_{(2)}$ 的密度函数为

$$p_2(x) = \frac{5!}{(2-1)!\,(5-2)!} (F(x))^{2-1} p(x) (1 - F(x))^{5-2}$$ $$= 20 \cdot x^3 \cdot 3x^2 \cdot (1 - x^3)^3$$ $$= 60x^5(1 - x^3)^3, \quad 0 < x < 1,$$

于是

$$P(x_{(2)} < 1/2) = \int_0^{1/2} 60x^5(1-x^3)^3 \, \mathrm{d}x$$ $$= \int_0^{1/8} 20y(1-y)^3 \, \mathrm{d}y = \int_{7/8}^{1} 20(z^3 - z^4) \, \mathrm{d}z$$ $$= 5\left(1 - \left(\frac{7}{8}\right)^4\right) - 4\left(1 - \left(\frac{7}{8}\right)^5\right) = 0.1207.$$