例 3.2.6

分别记这两个数为 $X$ 和 $Y$，则 $X$ 和 $Y$ 都服从 $(0,1)$ 上的均匀分布，由于 $X$ 与 $Y$ 的取值相互没有任何影响，故 $X$ 与 $Y$ 相互独立，故其联合密度函数为

$$p(x,y) = p_X(x) p_Y(y) = \begin{cases} 1, & 0 < x < 1,\; 0 < y < 1, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$

利用此联合密度函数可以计算 (1) 与 (2) 的概率，具体如下：

（1） 事件 $\{X+Y<1.2\}$ 的非零区域如图 3.2.4(a) 所示，其概率为

$$P(X+Y<1.2) = \int_0^{0.2}\int_0^1 \mathrm{d}y\mathrm{d}x + \int_{0.2}^1\int_0^{1.2-x} \mathrm{d}y\mathrm{d}x = 0.2 + \int_{0.2}^1 (1.2-x) \,\mathrm{d}x = 0.2 + 0.48 = 0.68.$$

（2） 事件 $\{XY<1/4\}$ 的非零区域如图 3.2.4(b) 所示，其概率为

$$P(XY<1/4) = \int_0^{1/4}\int_0^1 \mathrm{d}y\mathrm{d}x + \int_{1/4}^1\int_0^{1/(4x)} \mathrm{d}y\mathrm{d}x = \frac{1}{4} + \int_{1/4}^1 \frac{1}{4x} \,\mathrm{d}x = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\ln 4 = 0.5966.$$