例 2.1.7

记 $X$ 的分布函数为 $F(x)$，则

当 $x < 0$ 时，因为 $\{X \leqslant x\}$ 是不可能事件，所以 $F(x) = P(X \leqslant x) = 0$；

当 $x \geqslant a$ 时，因为 $\{X \leqslant x\}$ 是必然事件，所以 $F(x) = P(X \leqslant x) = 1$；

当 $0 \leqslant x < a$ 时，有 $F(x) = P(X \leqslant x) = P(0 \leqslant X \leqslant x) = kx$，其中 $k$ 为比例系数。因为 $1 = F(a) = ka$，所以得 $k = 1/a$。

于是 $X$ 的分布函数为

$$F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ \dfrac{x}{a}, & 0 \leqslant x < a, \\ 1, & x \geqslant a. \end{cases}$$

下面求 $X$ 的密度函数 $p(x)$。

当 $x < 0$ 或 $x > a$ 时，$p(x) = F'(x) = 0$；

当 $0 < x < a$ 时，$p(x) = F'(x) = 1/a$，

而在 $x = 0$ 和 $x = a$ 处，$p(x)$ 可取任意值，一般就近取值为宜，这不会影响概率（积分）的计算。于是 $X$ 的密度函数为

$$p(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{a}, & 0 < x < a, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$

这个分布就是区间 $(0, a)$ 上的均匀分布，记为 $U(0, a)$，其密度函数 $p(x)$ 和分布函数 $F(x)$ 的图形见图 2.1.6。