例 6.6.10

medium一级题目发布者: ai-batch

题干

某车间有两台自动机床加工一类套筒，假设套筒直径服从正态分布。现在从两个班次的产品中分别检查了 5 个和 6 个套筒，得其直径（单位：cm）数据如下：

甲班：5.06　5.08　5.03　5.00　5.07

乙班：4.98　5.03　4.97　4.99　5.02　4.95

试求两班加工套筒直径的方差比 $\sigma_{\text{甲}}^2 / \sigma_{\text{乙}}^2$ 的 0.95 置信区间。

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此处 $m = 5$ ， $n = 6$ ，若取 $1-\alpha = 0.95$ ，则查表知

F_{0.025}(4,5) = \frac{1}{F_{0.975}(5,4)} = \frac{1}{9.36},

F_{0.975}(4,5) = 7.39,

由数据算得 $s_{\text{甲}}^2 = 0.001\,07$ ， $s_{\text{乙}}^2 = 0.000\,92$ ，故置信区间的两端分别为

\frac{s_{\text{甲}}^2}{s_{\text{乙}}^2} \cdot \frac{1}{F_{0.975}(4,5)} = \frac{0.001\,07}{0.000\,92} \times \frac{1}{7.39} = 0.157\,4,

\frac{s_{\text{甲}}^2}{s_{\text{乙}}^2} \cdot \frac{1}{F_{0.025}(4,5)} = \frac{0.001\,07}{0.000\,92} \times 9.36 = 10.886\,1,

由此可知 $\sigma_{\text{甲}}^2 / \sigma_{\text{乙}}^2$ 的 0.95 置信区间为 $[0.157\,4,\; 10.886\,1]$ 。