例 2.5.3

easy一级题目发布者: ai-batch

题干

在考试中，如果考生的成绩 $X$ 近似地服从正态分布，则通常认为这次考试（就合理地划分考生成绩的等级而言）是正常的。教师经常把分数超过 $\mu + \sigma$ 的评为 A 等，分数在 $\mu$ 和 $\mu + \sigma$ 之间的评为 B 等，分数在 $\mu - \sigma$ 和 $\mu$ 之间的评为 C 等，分数在 $\mu - 2\sigma$ 和 $\mu - \sigma$ 之间的评为 D 等，分数在 $\mu - 2\sigma$ 以下的评为 F 等。求各等级的比例。

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解析

由此可计算得

P(X \geqslant \mu + \sigma) = P\left(\frac{X - \mu}{\sigma} \geqslant 1\right) = 1 - \Phi(1) \approx 0.1587

P(\mu \leqslant X < \mu + \sigma) = P\left(0 \leqslant \frac{X - \mu}{\sigma} < 1\right) = \Phi(1) - \Phi(0) \approx 0.3413

P(\mu - \sigma \leqslant X < \mu) = P\left(-1 \leqslant \frac{X - \mu}{\sigma} < 0\right) = \Phi(0) - \Phi(-1) \approx 0.3413

P(\mu - 2\sigma \leqslant X < \mu - \sigma) = P\left(-2 \leqslant \frac{X - \mu}{\sigma} < -1\right) = \Phi(-1) - \Phi(-2) \approx 0.1359

P(X < \mu - 2\sigma) = P\left(\frac{X - \mu}{\sigma} < -2\right) = \Phi(-2) \approx 0.0228

这说明：用这种方法划分成绩的等级，获得 A 等的约占 16%，B 等的约占 34%，C 等的约占 34%，D 等的约占 14%，F 等的约占 2%。

例 2.5.3

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