例 3.1.3

(1) 积分区域见图 3.1.3(a) 中的阴影部分 $D_1$，

$$P(X<1,\; Y>1) = P((X,Y) \in D_1) = \int_1^{\infty} \int_0^1 6\mathrm{e}^{-2x-3y}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$ $$= 6\int_0^1 \mathrm{e}^{-2x}\,\mathrm{d}x \int_1^{\infty} \mathrm{e}^{-3y}\,\mathrm{d}y = (1-\mathrm{e}^{-2})\,\mathrm{e}^{-3} \approx 0.0430.$$

(2) 积分区域见图 3.1.3(b) 中的阴影部分 $D_2$，从而容易写出累次积分。

$$P(X>Y) = P((X,Y) \in D_2) = \int_0^{\infty}\!\int_0^{x} 6\mathrm{e}^{-2x}\mathrm{e}^{-3y}\,\mathrm{d}y\mathrm{d}x = \int_0^{\infty} 2\mathrm{e}^{-2x}(1-\mathrm{e}^{-3x})\,\mathrm{d}x$$ $$= \left(-\mathrm{e}^{-2x}+\frac{2}{5}\mathrm{e}^{-5x}\right)\bigg|_0^{\infty} = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}.$$