例 6.2.3

medium一级题目发布者: ai-batch

题干

设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是来自均匀分布 $U(a, b)$ 的样本， $a$ 与 $b$ 均是未知参数，求 $a$ 、 $b$ 的矩估计。若从均匀分布总体 $U(a, b)$ 获得如下一个容量为 5 的样本：

4.5 \quad 5.0 \quad 4.7 \quad 4.0 \quad 4.2

求 $a$ 、 $b$ 的矩估计值。

答案点击展开后可查看解析

这里 $k = 2$ ，由于

E(X) = \frac{a+b}{2}, \quad \mathrm{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12},

不难推出

a = E(X) - \sqrt{3\mathrm{Var}(X)}, \quad b = E(X) + \sqrt{3\mathrm{Var}(X)},

由此即可得到 $a$ , $b$ 的矩估计：

\hat{a} = \bar{x} - \sqrt{3}\, s, \quad \hat{b} = \bar{x} + \sqrt{3}\, s,

若从均匀分布总体 $U(a, b)$ 获得如下一个容量为 5 的样本：

4.5 \quad 5.0 \quad 4.7 \quad 4.0 \quad 4.2

经计算，有 $\bar{x} = 4.48$ ， $s = 0.3962$ ，于是可得 $a$ , $b$ 的矩估计为

\hat{a} = 4.48 - 0.3962\sqrt{3} = 3.7938,

\hat{b} = 4.48 + 0.3962\sqrt{3} = 5.1662.