例 3.3.9easy一级题目发布者: ai-batch题干设 X1,X2,⋯ ,XnX_1,X_2,\cdots,X_nX1,X2,⋯,Xn 是 nnn 个相互独立同分布的标准正态变量，证明其平方和 Y=X12+X22+⋯+Xn2Y=X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2Y=X12+X22+⋯+Xn2 服从自由度为 nnn 的 χ2\chi^2χ2 分布。答案点击展开后可查看解析解析由上一章例 2.6.3，我们已经证得：当 Xi∼N(0,1)X_i \sim N(0,1)Xi∼N(0,1)，有 Xi2∼χ2(1)X_i^2 \sim \chi^2(1)Xi2∼χ2(1)。所以再由 χ2\chi^2χ2 分布的可加性即可得结论。 由此可见，χ2(n)\chi^2(n)χ2(n) 分布中的参数 nnn 就体现在：nnn 是独立的标准正态变量的个数，因此人们称这个参数 nnn 为自由度。