例 3.1.1

从 $G(x,y)$ 的定义可看出：若用直线 $x+y=0$ 将平面 $xOy$ 一分为二，则 $G(x,y)$ 在右上半平面（$x+y \geqslant 0$）取值为 1，$G(x,y)$ 在左下半平面（$x+y<0$）取值为 0。因此 $G(x,y)$ 具有非降性、有界性和右连续性，即满足性质(1)(2)(3)。

但在正方形区域 $\{(x,y): -1 \leqslant x \leqslant 1,\; -1 \leqslant y \leqslant 1\}$ 的四个顶点上，右上三个顶点位于右上半闭平面，只有左下顶点 $(-1,-1)$ 位于左下半开平面，故有

$$G(1,1) - G(1,-1) - G(-1,1) + G(-1,-1) = 1 - 1 - 1 + 0 = -1 < 0,$$

所以 $G(x,y)$ 不满足性质(4)，故 $G(x,y)$ 不能成为某二维随机变量的分布函数。