例 2.1.1easy一级题目发布者: ai-batch题干例 2.1.1 向半径为 rrr 的圆内随机抛一点，求此点到圆心之距离 XXX 的分布函数 F(x)F(x)F(x)，并求 P(X>2r3)P\left(X > \dfrac{2r}{3}\right)P(X>32r)。答案点击展开后可查看解析解析事件"X⩽xX \leqslant xX⩽x"表示所抛之点落在半径为 xxx（0⩽x⩽r0 \leqslant x \leqslant r0⩽x⩽r）的圆内，故由几何概率知 F(x)=P(X⩽x)=πx2πr2=(xr)2,F(x) = P(X \leqslant x) = \frac{\pi x^2}{\pi r^2} = \left(\frac{x}{r}\right)^2,F(x)=P(X⩽x)=πr2πx2=(rx)2, 而当 x<0x < 0x<0 时，有 F(x)=0F(x) = 0F(x)=0；当 x>rx > rx>r 时，有 F(x)=1F(x) = 1F(x)=1。 从而 P(X>2r3)=1−P(X⩽2r3)=1−F(2r3)=1−(23)2=59.P\left(X > \frac{2r}{3}\right) = 1 - P\left(X \leqslant \frac{2r}{3}\right) = 1 - F\left(\frac{2r}{3}\right) = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{5}{9}.P(X>32r)=1−P(X⩽32r)=1−F(32r)=1−(32)2=95.