例 2.4.7

设 $X$ 为 10 000 名投保人在一年中死亡的人数，则 $X$ 服从二项分布 $b(10\,000, 0.001)$。保险公司在这项业务上一年的总收入为 $200 \times 10\,000 = 2\,000\,000$（元）。因为 $n = 10\,000$ 很大，$p = 0.001$ 很小，所以用 $\lambda = np = 10$ 的泊松分布进行近似计算。

（1）保险公司在这项业务上"亏本"就相当于事件 $\{X > 20\}$ 发生。因此所求概率为

$$P(X > 20) = 1 - P(X \leqslant 20) \approx 1 - \sum_{k=0}^{20} \frac{10^k}{k!} e^{-10} = 1 - 0.998 = 0.002.$$

由此可看出，保险公司在这项业务上亏本的可能性是微小的。

（2）保险公司在这项业务上"至少获利 500 000 元"就相当于事件 $\{X \leqslant 15\}$ 发生。因此所求概率为

$$P(X \leqslant 15) \approx \sum_{k=0}^{15} \frac{10^k}{k!} e^{-10} = 0.951.$$

由此可看出，保险公司在这项业务上至少获利 500 000 元的可能性很大。