例 3.5.7

medium一级题目发布者: ai-batch

题干

一矿工被困在有三个门的矿井里。第一个门通一坑道，沿此坑道走 3 小时可到达安全区；第二个门通一坑道，沿此坑道走 5 小时又回到原处；第三个门通一坑道，沿此坑道走 7 小时也回到原处。假定此矿工总是等可能地在三个门中选择一个，试求他平均要用多少时间才能到达安全区。

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设该矿工需要 $X$ 小时到达安全区，则 $X$ 的可能取值为

3, \; 5+3, \; 7+3, \; 5+5+3, \; 5+7+3, \; 5+7+3, \; 7+7+3, \; 7+7+3, \cdots,

要写出 $X$ 的分布列是困难的，所以无法直接求 $E(X)$ 。为此记 $Y$ 表示第一次所选的门， $\{Y=i\}$ 就是选择第 $i$ 个门。由题设知

P(Y=1) = P(Y=2) = P(Y=3) = \frac{1}{3}.

因为选第一个门后 3 小时可到达安全区，所以 $E(X \mid Y=1)=3$ 。

又因为选第二个门后 5 小时回到原处，所以 $E(X \mid Y=2)=5+E(X)$ 。

又因为选第三个门后 7 小时也回到原处，所以 $E(X \mid Y=3)=7+E(X)$ 。

综上所述，由 (3.5.18) 式得

E(X) = \frac{1}{3}[3+5+E(X)+7+E(X)] = 5+\frac{2}{3}E(X),

解得 $E(X)=15$ ，即该矿工平均要 15 小时才能到达安全区。

上例的解题方法带有某种普遍性，请读者从下例中再体会一下这种方法。