例 3.1.2

$(X, Y)$ 为二维离散随机变量，其中 $X$ 的分布列为

$$P(X = i) = \frac{1}{4}, \quad i = 1, 2, 3, 4.$$

$Y$ 的可能取值也是 1, 2, 3, 4，若记 $j$ 为 $Y$ 的取值，则

当 $j > i$ 时，有 $P(X = i, Y = j) = P(\varnothing) = 0$。

当 $1 \leqslant j \leqslant i \leqslant 4$ 时，由乘法公式

$$P(X = i, Y = j) = P(X = i)P(Y = j \mid X = i) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{i}.$$

由此可得 $(X, Y)$ 的联合分布列为

	$Y=1$	$Y=2$	$Y=3$	$Y=4$
$X=1$	$1/4$	$0$	$0$	$0$
$X=2$	$1/8$	$1/8$	$0$	$0$
$X=3$	$1/12$	$1/12$	$1/12$	$0$
$X=4$	$1/16$	$1/16$	$1/16$	$1/16$

由此可算得事件 $\{X = Y\}$ 的概率为

$$P(X = Y) = p_{11} + p_{22} + p_{33} + p_{44} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{12} + \frac{1}{16} = \frac{25}{48} = 0.5208.$$