例 3.5.5

因为

$$p(x,y) = \begin{cases} \dfrac{1}{\pi}, & x^2 + y^2 \leqslant 1, \\[6pt] 0, & \text{其他}. \end{cases}$$

由此得 $Y$ 的边际密度为

$$p_Y(y) = \begin{cases} \dfrac{2}{\pi}\sqrt{1-y^2}, & -1 \leqslant y \leqslant 1, \\[6pt] 0, & \text{其他}. \end{cases}$$

所以当 $-1 < y < 1$ 时，有

$$p(x \mid y) = \frac{p(x,y)}{p_Y(y)}$$ $$= \begin{cases} \dfrac{1/\pi}{(2/\pi)\sqrt{1-y^2}} = \dfrac{1}{2\sqrt{1-y^2}}, & -\sqrt{1-y^2} \leqslant x \leqslant \sqrt{1-y^2}, \\[6pt] 0, & \text{其他}. \end{cases}$$

将 $y = 0$ 和 $y = 0.5$ 分别代入上式可得（两个均匀分布）

$$p(x \mid y = 0) = \begin{cases} \dfrac{1}{2}, & -1 \leqslant x \leqslant 1, \\[6pt] 0, & \text{其他}, \end{cases}$$ $$p(x \mid y = 0.5) = \begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{3}}, & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \leqslant x \leqslant \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \\[6pt] 0, & \text{其他}. \end{cases}$$

进一步有：当 $-1 < y < 1$ 时，给定 $Y = y$ 条件下，$X$ 服从 $(-\sqrt{1-y^2},\, \sqrt{1-y^2})$ 上的均匀分布。同理有：当 $-1 < x < 1$ 时，给定 $X = x$ 条件下，$Y$ 服从 $(-\sqrt{1-x^2},\, \sqrt{1-x^2})$ 上的均匀分布。