例 2.1.4

easy一级题目发布者: ai-batch

题干

例 2.1.4 设离散随机变量 $X$ 的分布列为

$X$	$-1$	$2$	$3$
$P$	$0.25$	$0.5$	$0.25$

试求 $P(X \leqslant 0.5)$ ， $P(1.5 < X \leqslant 2.5)$ ，并写出 $X$ 的分布函数。

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$P(X \leqslant 0.5) = P(X = -1) = 0.25$ ，

$P(1.5 < X \leqslant 2.5) = P(X = 2) = 0.5$ ，

$X$ 的分布函数为

F(x) = \begin{cases} 0, & x < -1, \\ 0.25, & -1 \leqslant x < 2, \\ 0.75, & 2 \leqslant x < 3, \\ 1, & x \geqslant 3. \end{cases}

$F(x)$ 的图形如下，它是一条阶梯形的曲线，在 $X$ 的可能取值 $-1, 2, 3$ 处有右连续的跳跃点，其跳跃度分别为 $X$ 在其可能取值点的概率： $0.25, 0.5, 0.25$ 。

图 2.1.3 离散随机变量的分布函数与单点分布函数

特别地，常量 $c$ 可看作仅取一个值的随机变量 $X$ ，即 $P(X = c) = 1$ 。这个分布常称为单点分布或退化分布，它的分布函数是

F(x) = \begin{cases} 0, & x < c, \\ 1, & x \geqslant c. \end{cases}