例 2.2.4easy一级题目发布者: ai-batch题干例 2.2.4 设 XXX 服从区间 (a,b)(a,b)(a,b) 上的均匀分布，求 E(X)E(X)E(X)。答案点击展开后可查看解析解析由例 2.1.7 知 XXX 的密度函数为 p(x)={1b−a,a<x<b,0,其他.p(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & a < x < b, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}p(x)=⎩⎨⎧b−a1,0,a<x<b,其他. 所以 E(X)=∫abx⋅1b−adx=1b−a⋅x22∣ab=a+b2.E(X) = \int_a^b x \cdot \frac{1}{b-a} \mathrm{d}x = \frac{1}{b-a} \cdot \frac{x^2}{2} \bigg|_a^b = \frac{a+b}{2}.E(X)=∫abx⋅b−a1dx=b−a1⋅2x2ab=2a+b. 这个结果是可以理解的，因为 XXX 在区间 (a,b)(a,b)(a,b) 上的取值是均匀的，所以它的平均取值当然应该是 (a,b)(a,b)(a,b) 的"中点"，即 (a+b)/2(a+b)/2(a+b)/2。