例 3.2.7

为判断 $X$ 与 $Y$ 是否独立，只需看边际密度函数的乘积是否等于联合密度函数。为此先求边际密度函数。

当 $x<0$ 或 $x>1$ 时，$p_X(x)=0$。而当 $0 \leq x \leq 1$ 时，有

$$p_X(x) = \int_x^1 8xy \mathrm{d}y = 8x\left(\frac{1}{2} - \frac{x^2}{2}\right) = 4x(1-x^2).$$

因此

$$p_X(x) = \begin{cases} 4x(1-x^2), & 0 \leq x \leq 1, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$

同样，当 $y<0$ 或 $y>1$ 时，$p_Y(y)=0$。而当 $0 \leq y \leq 1$ 时，有

$$p_Y(y) = \int_0^y 8xy \mathrm{d}x = 4y^3.$$

因此

$$p_Y(y) = \begin{cases} 4y^3, & 0 \leq y \leq 1, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$

由此可见：$p(x,y) \neq p_X(x)p_Y(y)$，故 $X$ 与 $Y$ 不独立，即相依。

直观上看，联合密度函数 $p(x,y)$ 似乎可分离变量，但由于其非零区域相互交织，$X$ 的取值受 $Y$ 的取值影响（$0 \leq x \leq y$），$Y$ 的取值也受 $X$ 的取值的影响（$x \leq y \leq 1$），最后导致 $p(x,y)$ 的变量不能分离，从而 $X$ 与 $Y$ 不可能相互独立。