例 1.4.4

由乘法公式可得

$$P(B_1R_2R_3) = P(B_1)P(R_2|B_1)P(R_3|B_1R_2) = \frac{b}{b+r} \cdot \frac{r+d}{b+r+c+d} \cdot \frac{r+d+c}{b+r+2c+2d},$$ $$P(R_1B_2R_3) = P(R_1)P(B_2|R_1)P(R_3|R_1B_2) = \frac{r}{b+r} \cdot \frac{b+d}{b+r+c+d} \cdot \frac{r+d+c}{b+r+2c+2d},$$ $$P(R_1R_2B_3) = P(R_1)P(R_2|R_1)P(B_3|R_1R_2) = \frac{r}{b+r} \cdot \frac{r+c}{b+r+c+d} \cdot \frac{b+2d}{b+r+2c+2d}.$$

以上概率与黑球在第几次被取出有关。

罐子模型也称为波利亚（Pólya）模型，这个模型可以有各种变化，具体见下：

（1）当 $c = -1, d = 0$ 时，即为不返回抽样。 此时前次抽取结果会影响后次抽取结果。但只要抽取的黑球与红球个数确定，则概率不依赖其取出球的次序，都是一样的。此例中有

$$P(B_1R_2R_3) = P(R_1B_2R_3) = P(R_1R_2B_3) = \frac{br(r-1)}{(b+r)(b+r-1)(b+r-2)}.$$

例 1.4.3 可以归结为此种情况。

（2）当 $c = 0, d = 0$ 时，即为返回抽样。 此时前次抽取结果不会影响后次抽取结果。故上述三个概率相等，且都等于

$$P(B_1R_2R_3) = P(R_1B_2R_3) = P(R_1R_2B_3) = \frac{br^2}{(b+r)^3}.$$

（3）当 $c > 0, d = 0$ 时，称为传染病模型。 此时，每次取出球后会增加下一次取到同色球的概率，或换句话说，每次发现一个传染病患者，以后都会增加再传染的概率。与（1）、（2）一样，以上三个概率都相等，且都等于

$$P(B_1R_2R_3) = P(R_1B_2R_3) = P(R_1R_2B_3) = \frac{br(r+c)}{(b+r)(b+r+c)(b+r+2c)}.$$

从以上（1）、（2）和（3）中可以看出：在罐子模型中只要 $d = 0$，则以上三个概率都相等。即只要抽取的黑球与红球个数确定，则概率不依赖其取出球的次序，都是一样的。但当 $d > 0$ 时，就不同了，见下面（4）。

（4）当 $c = 0, d > 0$ 时，称为安全模型。 此模型可解释为：每当事故发生了（红球被取出），安全工作就抓紧一些，下次再发生事故的概率就会减少；而当事故没有发生时（黑球被取出），安全工作就放松一些，下次再发生事故的概率就会增大。在这种场合，上述三个概率分别为

$$P(B_1R_2R_3) = \frac{b}{b+r} \cdot \frac{r+d}{b+r+d} \cdot \frac{r+d}{b+r+2d},$$ $$P(R_1B_2R_3) = \frac{r}{b+r} \cdot \frac{b+d}{b+r+d} \cdot \frac{r+d}{b+r+2d},$$ $$P(R_1R_2B_3) = \frac{r}{b+r} \cdot \frac{r}{b+r+d} \cdot \frac{b+2d}{b+r+2d}.$$