例 3.4.2medium一级题目发布者: ai-batch题干设 X1X_1X1 和 X2X_2X2 是独立同分布的随机变量，其共同分布为指数分布 Exp(λ)Exp(\lambda)Exp(λ)。试求 Y=max{X1,X2}Y=\max\{X_1,X_2\}Y=max{X1,X2} 的数学期望。答案点击展开后可查看解析解析在前面例 3.3.4 中已求得 Y=max{X1,X2}Y=\max\{X_1,X_2\}Y=max{X1,X2} 的密度函数为 pY(y)=2(1−e−λy)λe−λy,y>0.p_Y(y) = 2(1-e^{-\lambda y})\lambda e^{-\lambda y}, \quad y>0.pY(y)=2(1−e−λy)λe−λy,y>0. 这时 Y=max{X1,X2}Y=\max\{X_1,X_2\}Y=max{X1,X2} 的数学期望为 E[max{X1,X2}]=∫0∞2λy(1−e−λy)e−λydyE[\max\{X_1,X_2\}] = \int_0^\infty 2\lambda y(1-e^{-\lambda y})e^{-\lambda y}\mathrm{d}yE[max{X1,X2}]=∫0∞2λy(1−e−λy)e−λydy =2∫0∞ye−λyd(λy)−∫0∞ye−2λyd(2λy)= 2\int_0^\infty ye^{-\lambda y}\mathrm{d}(\lambda y) - \int_0^\infty ye^{-2\lambda y}\mathrm{d}(2\lambda y)=2∫0∞ye−λyd(λy)−∫0∞ye−2λyd(2λy) =2λ∫0∞ue−udu−12λ∫0∞ve−vdv= \frac{2}{\lambda}\int_0^\infty ue^{-u}\mathrm{d}u - \frac{1}{2\lambda}\int_0^\infty ve^{-v}\mathrm{d}v=λ2∫0∞ue−udu−2λ1∫0∞ve−vdv =2λΓ(2)−12λΓ(2)=32λ.= \frac{2}{\lambda}\Gamma(2) - \frac{1}{2\lambda}\Gamma(2) = \frac{3}{2\lambda}.=λ2Γ(2)−2λ1Γ(2)=2λ3.