例 1.2.9

以 $x$ 表示针的中点与最近一条平行线的距离，又以 $\varphi$ 表示针与此直线间的夹角，见图 1.2.5。易知样本空间 $\varOmega$ 满足

$$0 \le x \le d/2, \quad 0 \le \varphi \le \pi,$$

由这两式可以确定 $\varphi Ox$ 平面上的一个矩形 $\varOmega$，这就是样本空间，其面积为 $S_\varOmega = d\pi/2$。这时针与平行线相交（记为事件 $A$）的充要条件是

$$x \le \frac{l}{2} \sin \varphi.$$

由这个不等式表示的区域是图 1.2.6 中的阴影部分。

由于针是向平面任意投掷的，所以由等可能性知这是一个几何概率问题。由此得

$$P(A) = \frac{S_A}{S_\varOmega} = \frac{\displaystyle\int_0^{\pi} \frac{l}{2} \sin \varphi \, \mathrm{d}\varphi}{\displaystyle\frac{d}{2}\pi} = \frac{2l}{d\pi}.$$

如果 $l$，$d$ 已知，则以 $\pi$ 的值代入上式即可计算得 $P(A)$ 之值。反之，如果已知 $P(A)$ 的值，则也可利用上式求出 $\pi$，而关于 $P(A)$ 的值，可用从试验中获得的频率去近似它：即投针 $N$ 次，其中针与平行线相交 $n$ 次，则频率 $n/N$ 可作为 $P(A)$ 的估计值，于是由

$$\frac{n}{N} \approx P(A) = \frac{2l}{d\pi},$$

可得

$$\pi \approx \frac{2lN}{dn}.$$

历史上有一些学者曾亲自做过这个试验，下表记录了他们的试验结果。

试验者	年份	$l/d$	投掷次数	相交次数	$\pi$ 的近似值
沃尔夫（Wolf）	1850	0.8	5 000	2 532	3.159 6
福克斯（Fox）	1884	0.75	1 030	489	3.159 5
拉泽里尼（Lazzerini）	1901	0.83	3 408	1 808	3.141 592 9
雷娜（Reina）	1925	0.541 9	2 520	859	3.179 5