例 6.6.9

以 $x_1, x_2, \cdots, x_8$ 记甲品种的单位面积产量，$y_1, y_2, \cdots, y_{10}$ 记乙品种的单位面积产量，由样本数据可计算得到

$$\bar{x} = 569.38, \quad s_x^2 = 2\,140.55, \quad m = 8,$$ $$\bar{y} = 487.00, \quad s_y^2 = 3\,256.22, \quad n = 10,$$

下面分两种情况讨论。

（1）若已知两个品种单位面积产量的标准差相等，则可采用二样本 $t$ 区间。此处

$$s_w = \sqrt{\frac{(m-1)s_x^2 + (n-1)s_y^2}{m+n-2}} = \sqrt{\frac{7 \times 2\,140.55 + 9 \times 3\,256.22}{16}} = 52.612\,9,$$ $$t_{1-\alpha/2}(m+n-2) = t_{0.975}(16) = 2.119\,9,$$ $$t_{1-\alpha/2}(m+n-2)\,s_w\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}} = 2.119\,9 \times 52.612\,9 \times \sqrt{\frac{1}{8}+\frac{1}{10}} = 52.91,$$

故 $\mu_1 - \mu_2$ 的 0.95 置信区间为

$$[569.38 - 487 \pm 52.91] = [29.47,\; 135.29].$$

（2）若两个品种单位面积产量的方差不等，则可采用近似 $t$ 区间。此处

$$s_0^2 = 2\,140.55/8 + 3\,256.22/10 = 593.19, \quad s_0 = 24.36,$$ $$l = \frac{593.19^2}{\dfrac{2\,140.55^2}{8^2 \times 7} + \dfrac{3\,256.22^2}{10^2 \times 9}} = 15.99 \approx 16,$$ $$s_0 t_{0.975}(l) = 24.36 \times 2.119\,9 = 51.64,$$

于是 $\mu_1 - \mu_2$ 的 0.95 近似置信区间为

$$[569.38 - 487 \pm 51.64] = [30.74,\; 134.02].$$