例 3.4.7

利用协方差的计算公式，我们需要先计算 $E(X)$，$E(Y)$，$E(XY)$ 的值，它们可直接用 $p(x,y)$ 导出，但要注意积分限的确定，具体如下：

$$E(X) = \int_0^1 \int_0^x x \cdot 3x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x = \int_0^1 3x^3 \, \mathrm{d}x = \frac{3}{4}.$$ $$E(Y) = \int_0^1 \int_0^x y \cdot 3x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x = \int_0^1 \frac{3x^3}{2} \, \mathrm{d}x = \frac{3}{8}.$$ $$E(XY) = \int_0^1 \int_0^x xy \cdot 3x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x = \int_0^1 \frac{3x^4}{2} \, \mathrm{d}x = \frac{3}{10}.$$

因此我们得

$$\text{Cov}(X, Y) = \frac{3}{10} - \frac{3}{4} \times \frac{3}{8} = \frac{3}{160} > 0.$$

由此我们还可以得结论：$X$ 与 $Y$ 不相互独立。