例 2.6.4

由于随机变量 $X$ 在 $(0, \pi)$ 内取值，所以 $Y = \sin X$ 的可能取值区间为 $(0, 1]$。在 $Y$ 的可能取值区间外，$p_Y(y) = 0$。

当 $0 < y \leqslant 1$ 时，使 $Y \leqslant y$ 的 $x$ 取值范围为两个互不相交的区间，见图 2.6.1。

$$\Delta_1(y) = [0, x_1] = [0, \arcsin y]$$ $$\Delta_2(y) = [x_2, \pi] = [\pi - \arcsin y, \pi]$$

于是

$$\{Y \leqslant y\} = \{X \in \Delta_1(y)\} \cup \{X \in \Delta_2(y)\}$$ $$= \{0 \leqslant X \leqslant \arcsin y\} \cup \{\pi - \arcsin y \leqslant X \leqslant \pi\}$$

故

$$F_Y(y) = P(Y \leqslant y) = \int_0^{\arcsin y} p_X(x) \, \mathrm{d}x + \int_{\pi - \arcsin y}^{\pi} p_X(x) \, \mathrm{d}x$$ $$= \int_0^{\arcsin y} \frac{2x}{\pi^2} \, \mathrm{d}x + \int_{\pi - \arcsin y}^{\pi} \frac{2x}{\pi^2} \, \mathrm{d}x$$

在上式两端对 $y$ 求导，得

$$p_Y(y) = \frac{2 \arcsin y}{\pi^2 \sqrt{1 - y^2}} + \frac{2(\pi - \arcsin y)}{\pi^2 \sqrt{1 - y^2}} = \frac{2}{\pi \sqrt{1 - y^2}}, \quad 0 < y \leqslant 1.$$