7.1.7

设一个单一观测的样本 $x$ 取自密度函数为 $p(x)$ 的总体，对 $p(x)$ 考虑统计假设

$H_0: p_0(x) = I_{[0,1]}(x)$ vs $H_1: p_1(x) = 2x \, I_{[0,1]}(x)$。

若其拒绝域的形式为 $W = \{x : x \geq c\}$，试确定一个 $c$，使得犯第一类、第二类错误的概率满足 $\alpha + 2\beta$ 为最小，并求其最小值。