例 2.1.9

medium一级题目发布者: ai-batch

题干

例 2.1.9 以下的函数 $F(x)$ 确是一个分布，它的图形如图 2.1.8 所示。

F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ \dfrac{1+x}{2}, & 0 \leqslant x < 1, \\ 1, & x \geqslant 1. \end{cases}

图 2.1.8 既非离散又非连续的分布函数示例

试分析该分布的类型，并将 $F(x)$ 分解为两个分布函数的凸组合。

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从图上可以看出：它既不是阶梯函数，又不是连续函数，所以它既非离散的又非连续的分布。它是新的一类分布，这类分布函数 $F(x)$ 常可分解为两个分布函数的凸组合，如例 2.1.9 中的分布函数可分解为

F(x) = \frac{1}{2}F_1(x) + \frac{1}{2}F_2(x),

其中

F_1(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ 1, & x \geqslant 0, \end{cases}

F_2(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ x, & 0 \leqslant x < 1, \\ 1, & x \geqslant 1. \end{cases}

而 $F_1(x)$ 是（离散）单点分布函数， $F_2(x)$ 是（连续）均匀分布 $U(0,1)$ 的分布函数。