例 5.4.1medium一级题目发布者: ai-batch题干设 x1,x2,⋯ ,xnx_1, x_2, \cdots, x_nx1,x2,⋯,xn 是来自正态分布 N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2)N(μ,σ2) 的一个样本，其中 μ\muμ 是已知常数，求统计量 T=∑i=1n(xi−μ)2T = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2T=i=1∑n(xi−μ)2 的分布。答案点击展开后可查看解析解析令 yi=(xi−μ)/σy_i = (x_i - \mu)/\sigmayi=(xi−μ)/σ，i=1,2,⋯ ,ni = 1, 2, \cdots, ni=1,2,⋯,n，则 y1,y2,⋯ ,yny_1, y_2, \cdots, y_ny1,y2,⋯,yn 是独立同分布随机变量，其共同分布为 N(0,1)N(0, 1)N(0,1)，于是由定义 5.4.1 知 Tσ2=∑i=1n(xi−μσ)2=∑i=1nyi2∼χ2(n),\frac{T}{\sigma^2} = \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{x_i - \mu}{\sigma}\right)^2 = \sum_{i=1}^{n} y_i^2 \sim \chi^2(n),σ2T=i=1∑n(σxi−μ)2=i=1∑nyi2∼χ2(n), 而 TTT 的密度函数为 p(t)=1(2σ2)n/2 Γ(n/2) e−t2σ2 tn2−1,t>0,p(t) = \frac{1}{(2\sigma^2)^{n/2} \, \Gamma(n/2)} \, \mathrm{e}^{-\frac{t}{2\sigma^2}} \, t^{\frac{n}{2}-1}, \quad t > 0,p(t)=(2σ2)n/2Γ(n/2)1e−2σ2tt2n−1,t>0, 这就是伽马分布 Ga (n2, 12σ2)Ga\!\left(\dfrac{n}{2},\, \dfrac{1}{2\sigma^2}\right)Ga(2n,2σ21)。(5.4.3) 式与 (5.4.1) 式在变量上只相差一个因子 σ2\sigma^2σ2。