例 3.3.8

首先指出 $Z=X+Y$ 仍在 $(0,\infty)$ 上取值，所以当 $z \leq 0$ 时，$p_Z(z)=0$。而当 $z>0$ 时，可用卷积公式 (3.3.13)，此时被积函数 $p_X(z-y)p_Y(y)$ 的非零区域为 $0<y<z$，故

$$p_Z(z)=\frac{\lambda^{\alpha_1+\alpha_2}}{\Gamma(\alpha_1)\Gamma(\alpha_2)} \int_0^z (z-y)^{\alpha_1-1}e^{-\lambda(z-y)}\cdot y^{\alpha_2-1}e^{-\lambda y}\mathrm{d}y$$ $$=\frac{\lambda^{\alpha_1+\alpha_2}e^{-\lambda z}}{\Gamma(\alpha_1)\Gamma(\alpha_2)} \int_0^z (z-y)^{\alpha_1-1}y^{\alpha_2-1}\mathrm{d}y$$ $$=\frac{\lambda^{\alpha_1+\alpha_2}e^{-\lambda z}}{\Gamma(\alpha_1)\Gamma(\alpha_2)} z^{\alpha_1+\alpha_2-1} \int_0^1(1-t)^{\alpha_1-1}t^{\alpha_2-1}\mathrm{d}t,$$

最后的积分是贝塔函数，它等于 $\Gamma(\alpha_1)\Gamma(\alpha_2)/\Gamma(\alpha_1+\alpha_2)$。代入上式得

$$p_Z(z)=\frac{\lambda^{\alpha_1+\alpha_2}}{\Gamma(\alpha_1+\alpha_2)} z^{\alpha_1+\alpha_2-1}e^{-\lambda z}.$$

这正是形状参数为 $\alpha_1+\alpha_2$，尺度参数仍为 $\lambda$ 的伽马分布。

这个结论表明：两个尺度参数相同的独立的伽马变量之和仍为伽马变量，其尺度参数不变，而形状参数相加，即

$$Ga(\alpha_1,\lambda) * Ga(\alpha_2,\lambda) = Ga(\alpha_1+\alpha_2,\lambda). \tag{3.3.16}$$

显然这个结论可推广到有限个尺度参数相同的独立伽马变量之和上。

另外由第二章中我们知道，伽马分布有两个常用的特例：指数分布和卡方分布，即

$$Exp(\lambda)=Ga(1,\lambda), \quad \chi^2(n)=Ga\left(\frac{n}{2},\frac{1}{2}\right),$$

由此又可以得到另外两个结论：

（1）$m$ 个独立同分布的指数变量之和为伽马变量，即

$$\underbrace{Exp(\lambda) * Exp(\lambda) * \cdots * Exp(\lambda)}_{m个} =Ga(m,\lambda). \tag{3.3.17}$$

（2）$m$ 个独立的 $\chi^2$ 变量之和为 $\chi^2$ 变量（$\chi^2$ 分布的可加性），即

$$\chi^2(n_1) * \chi^2(n_2) * \cdots * \chi^2(n_m) =\chi^2(n_1+n_2+\cdots+n_m). \tag{3.3.18}$$