例 2.5.2

利用公式 (2.5.4) 及查附表 2 得

(1)

$$P(102 < X < 117) = \Phi\!\left(\frac{117 - 108}{3}\right) - \Phi\!\left(\frac{102 - 108}{3}\right)$$ $$= \Phi(3) - \Phi(-2) = \Phi(3) + \Phi(2) - 1$$ $$= 0.9987 + 0.9772 - 1 = 0.9759$$

(2) 由

$$P(X < a) = \Phi\!\left(\frac{a - 108}{3}\right) = 0.95$$

或

$$\Phi^{-1}(0.95) = \frac{a - 108}{3}$$

其中 $\Phi^{-1}$ 为 $\Phi$ 的反函数。从附表 2 由里向外反查得

$$\Phi(1.64) = 0.9495, \quad \Phi(1.65) = 0.9505$$

再用线性内插法可得 $\Phi(1.645) = 0.95$，即 $\Phi^{-1}(0.95) = 1.645$，故

$$\frac{a - 108}{3} = 1.645$$

从中解得 $a = 112.935$。