例 3.3.2

首先指出，$Z=X+Y$ 可取 $0,1,2,\cdots$ 所有非负整数。而事件 $\{Z=k\}$ 是如下诸互不相容事件

$$\{X=i,Y=k-i\}, \quad i=0,1,\cdots,k$$

的并，再考虑到独立性，则对任意非负整数 $k$，有

$$P(Z=k) = \sum_{i=0}^k P(X=i)P(Y=k-i). \tag{3.3.1}$$

这个概率等式被称为离散场合下的卷积公式。利用此公式可得

$$\begin{aligned} P(Z=k) &= \sum_{i=0}^k \left(\frac{\lambda_1^i}{i!}e^{-\lambda_1}\right)\left(\frac{\lambda_2^{k-i}}{(k-i)!}e^{-\lambda_2}\right) \\ &= \frac{(\lambda_1+\lambda_2)^k}{k!}e^{-(\lambda_1+\lambda_2)} \sum_{i=0}^k \frac{k!}{i!(k-i)!} \left(\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\right)^i \left(\frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2}\right)^{k-i} \\ &= \frac{(\lambda_1+\lambda_2)^k}{k!}e^{-(\lambda_1+\lambda_2)} \left(\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}+\frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2}\right)^k \\ &= \frac{(\lambda_1+\lambda_2)^k}{k!}e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}, \quad k=0,1,\cdots, \end{aligned}$$

这表明 $X+Y \sim P(\lambda_1+\lambda_2)$，结论得证。注意 $X-Y$ 不服从泊松分布。