例 3.3.6

设所有灯泡的使用寿命是相互独立、同分布的随机变量，其共同分布为指数分布 $Exp(\lambda)$，其平均寿命（即期望值）为 $\lambda^{-1} = 2000$ 小时，则按例 3.3.5，道路改建前 5 个灯泡中第一个灯泡烧坏的时间 $T_1 = \min\{X_1, X_2, X_3, X_4, X_5\}$，且 $T_1 \sim Exp(5\lambda)$。若每只灯泡每天用 10 小时，则 30 天内需换灯泡的概率为

$$P(T_1 \leqslant 300) = 1 - \exp\{-5\lambda \cdot 300\} = 1 - \exp\left\{-\frac{1500}{2000}\right\} = 0.5276.$$

而道路改建后，20 只灯泡中第一只烧坏的时间 $T_2 = \min\{X_1, X_2, \cdots, X_{20}\}$，且 $T_2 \sim Exp(20\lambda)$，则 30 天内需换灯泡的概率为

$$P(T_2 \leqslant 300) = 1 - \exp\{-20\lambda \cdot 300\} = 1 - \exp\left\{-\frac{6000}{2000}\right\} = 0.9502.$$

这表明：道路改建后，在 30 天内需要更换灯泡的概率提高了很多。也就是改建后，道路管理人员认为灯泡"更容易坏"的原因。

设想一条道路上有 100 个路灯，则 30 天内需要换灯泡的概率更大。为此路灯要使用高寿命（节能）灯泡，才能减少更换灯泡的次数。