例 2.6.2

easy一级题目发布者: ai-batch

题干

(1) 设随机变量 $X \sim N(10, 2^2)$ ，试求 $Y = 3X + 5$ 的分布；

(2) 设随机变量 $X \sim N(0, 2^2)$ ，试求 $Y = -X$ 的分布。

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(1) 由定理 2.6.2 知 $Y$ 仍是正态变量，其数学期望和方差分别为

E(Y) = E(3X + 5) = 3 \times 10 + 5 = 35,

\text{Var}(Y) = \text{Var}(3X + 5) = 9 \times 2^2 = 36.

所以 $Y = 3X + 5$ 的分布为 $N(35, 6^2)$ 。

(2) $Y$ 仍是正态变量，其数学期望和方差分别为

E(Y) = E(-X) = 0,

\text{Var}(Y) = \text{Var}(-X) = 2^2.

所以 $Y = -X$ 的分布仍为 $N(0, 2^2)$ 。这表明 $X$ 与 $-X$ 有相同的分布，但这两个随机变量是不相等的。所以我们要明确，分布相同与随机变量相等是两个完全不同的概念。