例 2.7.3

由于标准正态分布的密度函数是偶函数，故其分位数有如下性质：

• 当 $p < 0.5$ 时，$u_p < 0$。
• 当 $p > 0.5$ 时，$u_p > 0$。
• 当 $p = 0.5$ 时，$u_{0.5} = 0$。
• 当 $p_1 < p_2$ 时，$u_{p_1} < u_{p_2}$。
• 对任意的 $p$，有 $u_p = -u_{1-p}$，如 $u_{0.001} = -u_{0.999} = -3.090$。

常用的标准正态分布 $p$ 分位数如下表：

$p$	0.999	0.995	0.990	0.975	0.950	0.900	0.850	0.800
$u_p$	3.090	2.576	2.326	1.960	1.645	1.282	1.037	0.842

又由定理 2.5.1 可知：一般正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ 的 $p$ 分位数 $x_p$ 是方程

$$\Phi\!\left(\frac{x_p - \mu}{\sigma}\right) = p$$

的解，所以由

$$\frac{x_p - \mu}{\sigma} = u_p$$

可得 $x_p$ 与 $u_p$ 的关系式

$$x_p = \mu + \sigma u_p.$$

譬如正态分布 $N(10, 2^2)$ 的 $0.975$ 分位数为

$$x_{0.975} = 10 + 2 \times u_{0.975} = 10 + 2 \times 1.96 = 13.92.$$