5.3.7

设总体 $X$ 的分布函数 $F(x)$ 是连续的，$x_{(1)}, x_{(2)}, \cdots, x_{(n)}$ 为取自此总体的次序统计量，设 $\eta_i = F(x_{(i)})$，试证：

(1) $\eta_1 \leqslant \eta_2 \leqslant \cdots \leqslant \eta_n$，且 $\eta_i$ 是来自均匀分布 $U(0, 1)$ 总体的次序统计量；

(2) $E(\eta_i) = \dfrac{i}{n+1}$，$\mathrm{Var}(\eta_i) = \dfrac{i(n+1-i)}{(n+1)^2(n+2)}$，$1 \leqslant i \leqslant n$；

(3) $\eta_i$ 和 $\eta_j$ 的协方差矩阵为

$$\begin{pmatrix} \dfrac{a_1(1-a_1)}{n+2} & \dfrac{a_1(1-a_2)}{n+2} \\ \dfrac{a_1(1-a_2)}{n+2} & \dfrac{a_2(1-a_2)}{n+2} \end{pmatrix},$$

其中 $a_1 = \dfrac{i}{n+1}$，$a_2 = \dfrac{j}{n+1}$。