例 2.2.6

要求 $Y = X^2$ 的数学期望，为此要分两步进行：

第一步，先求 $Y = X^2$ 的分布，这可从 $X$ 的分布导出，即

$X^2$	$(-2)^2$	$(-1)^2$	$0^2$	$1^2$	$2^2$
$P$	$0.2$	$0.1$	$0.1$	$0.3$	$0.3$

然后对相等的值进行合并，并把对应的概率相加，可得

$X^2$	$0$	$1$	$4$
$P$	$0.1$	$0.4$	$0.5$

第二步，利用 $X^2$ 的分布求 $E(X^2)$，即得

$$E(X^2) = 0 \times 0.1 + 1 \times 0.4 + 4 \times 0.5 = 2.4.$$

假如我们用等值合并前的分布求 $E(X^2)$，可得相同的结果

$$E(X^2) = (-2)^2 \times 0.2 + (-1)^2 \times 0.1 + 0^2 \times 0.1 + 1^2 \times 0.3 + 2^2 \times 0.3 = 2.4.$$

这两种算法本质上是一回事，但后者的计算实质上是在 $X$ 的分布 $(-2, -1, 0, 1, 2)$ 基础上将取值改为 $((-2)^2, (-1)^2, 0^2, 1^2, 2^2)$ 计算出来的。由此启发我们：若进一步要求 $E(X^3)$ 和 $E(X^4)$，我们不需要先求 $X^3$ 的分布和 $X^4$ 的分布，而直接用 $X$ 的分布来求，具体如下：

$$E(X^3) = (-2)^3 \times 0.2 + (-1)^3 \times 0.1 + 0^3 \times 0.1 + 1^3 \times 0.3 + 2^3 \times 0.3 = 1.$$ $$E(X^4) = (-2)^4 \times 0.2 + (-1)^4 \times 0.1 + 0^4 \times 0.1 + 1^4 \times 0.3 + 2^4 \times 0.3 = 8.4.$$