例 3.4.1

因为 $X$ 与 $Y$ 都服从 $(0,a)$ 上的均匀分布，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立，所以 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

$$p(x,y) = \begin{cases} \dfrac{1}{a^2}, & 0<x<a,\; 0<y<a, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$

利用定理 3.4.1，得两点间的平均长度为

$$E(|X-Y|) = \int_0^a\int_0^a |x-y|\frac{1}{a^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$ $$= \frac{1}{a^2}\left\{\int_0^a\int_0^x (x-y)\mathrm{d}y\mathrm{d}x + \int_0^a\int_x^a (y-x)\mathrm{d}y\mathrm{d}x\right\}$$ $$= \frac{1}{a^2}\left\{\int_0^a\left(x^2 - ax + \frac{a^2}{2}\right)\mathrm{d}x\right\} = \frac{a}{3}.$$

注意，利用定理 3.4.1，虽然可以省略求随机变量函数的分布，但在某些场合所涉及的求和或求积难以计算，此时只能分两步进行：先求随机变量函数 $Z=g(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ 的分布，然后再由 $Z$ 的分布去求 $E(Z)$，见下例。