例 2.1.2

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题干

例 2.1.2 设有一反正切函数

F(x) = \frac{1}{\pi}\left(\arctan x + \frac{\pi}{2}\right), \quad -\infty < x < \infty.

（1）验证 $F(x)$ 是一个分布函数，并画出其图形。

（2）若随机变量 $X$ 服从该分布，求 $P(-1 \leqslant X \leqslant 1)$ 。

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（1） $F(x)$ 在整个数轴上是连续、严格单调增函数，且 $F(\infty) = 1$ ， $F(-\infty) = 0$ 。由于此 $F(x)$ 满足分布函数的三条基本性质，故 $F(x)$ 是一个分布函数。称这个分布函数为柯西分布函数，其图形如下：

图 2.1.1 柯西分布函数

（2）若 $X$ 服从柯西分布，则

P(-1 \leqslant X \leqslant 1) = F(1) - F(-1) = \frac{1}{\pi}[\arctan(1) - \arctan(-1)] = \frac{1}{\pi}\left[\frac{\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right] = \frac{1}{2}.