例 1.5.5

解法一　记事件 $A_i$ 为"第 $i$ 次射击命中目标"，$i = 1, 2, \cdots$。因为甲先射，所以事件"甲获胜"可以表示为

$$A_1 \cup \overline{A_1}\overline{A_2}A_3 \cup \overline{A_1}\overline{A_2}\overline{A_3}\overline{A_4}A_5 \cup \cdots$$

又因为各次射击是独立的，所以得

$$P\{\text{甲获胜}\} = \alpha + (1-\alpha)(1-\beta)\alpha + (1-\alpha)^2(1-\beta)^2\alpha + \cdots$$ $$= \alpha \sum_{i=0}^{\infty}(1-\alpha)^i(1-\beta)^i = \frac{\alpha}{1-(1-\alpha)(1-\beta)}.$$

同理可得

$$P\{\text{乙获胜}\} = P(\overline{A_1}A_2 \cup \overline{A_1}\overline{A_2}\overline{A_3}A_4 \cup \cdots)$$ $$= (1-\alpha)\beta + (1-\alpha)(1-\beta)(1-\alpha)\beta + \cdots$$ $$= \beta(1-\alpha)\sum_{i=0}^{\infty}(1-\alpha)^i(1-\beta)^i = \frac{\beta(1-\alpha)}{1-(1-\alpha)(1-\beta)}.$$

此题在等比级数求和时，应该有条件：公比 $|(1-\alpha)(1-\beta)| < 1$。这一点不难从题目的实际意义中得到。因为对本题而言，$\alpha, \beta$ 取值为零或 1 均是无意义的。

解法二　因为

$$P(\text{甲获胜}) = \alpha + (1-\alpha)(1-\beta)P(\text{甲获胜}),$$

由此解得

$$P(\text{甲获胜}) = \frac{\alpha}{1-(1-\alpha)(1-\beta)} = \frac{\alpha}{\alpha + \beta - \alpha\beta}.$$

而

$$P(\text{乙获胜}) = 1 - P(\text{甲获胜}) = \frac{\beta(1-\alpha)}{\alpha + \beta - \alpha\beta} = \frac{\beta(1-\alpha)}{1-(1-\alpha)(1-\beta)}.$$