例 1.3.6

设 $A_i$ 记事件"第 $i$ 个人抽到自己的礼物"，$i=1,2,\cdots,n$。所求概率为

$$P(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n).$$

因为

$$P(A_1)=P(A_2)=\cdots=P(A_n)=\frac{1}{n},$$ $$P(A_1A_2)=P(A_1A_3)=\cdots=P(A_{n-1}A_n)=\frac{1}{n(n-1)},$$ $$P(A_1A_2A_3)=P(A_1A_2A_4)=\cdots=P(A_{n-2}A_{n-1}A_n)=\frac{1}{n(n-1)(n-2)},$$ $$\cdots,$$ $$P(A_1A_2\cdots A_n)=\frac{1}{n!}.$$

所以由概率的加法公式（1.3.6）得

$$P(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n)=1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{n!}.$$

譬如，当 $n=5$ 时，此概率为 $0.633$；当 $n\to\infty$ 时，此概率的极限为 $1-e^{-1}=0.6321$。这表明：即使参加晚会的人很多（譬如 100 人以上），事件"至少有一个人抽到自己的礼物"也不是必然事件。